Déduction logique

Objectifs

• Connaître les tables de vérité des connecteurs logiques (et, ou, non, implication, équivalence)
• Utiliser les connecteurs logiques pour exprimer des propositions
• Différencier les connecteurs logiques "si" et "seulement si"
• Utiliser les règles d'inférence pour déduire des propositions
  • Modus ponens
  • Modus tollens
  • Syllogisme hypothétique
  • Syllogisme disjonctif

Cours

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Exercices

Table de vérité

Compléter la table de vérité suivante :

A	B	A et B	A ou B	non A	A → B	A ↔ B
0	0
0	1
1	0
1	1

Solution

Voir cours

Propositions

Exprimer les propositions suivantes à l'aide des connecteurs logiques :

1. Si le soleil brille, alors je vais à la plage.
2. Soit je vais à la plage, soit je vais à la montagne.
3. Je ne vais pas à la plage.
4. Je vais à la plage, seulement si je vais à la montagne.
5. Le soleil brille, si et seulement si je vais à la montagne.

Solution

1. le soleil brille → je vais à la plage
2. je vais à la plage ou je vais à la montagne
3. non je vais à la plage
4. je vais à la plage → je vais à la montagne
5. le soleil brille ↔ je vais à la montagne

Si et seulement si

Quelle est la différence entre les propositions suivantes ?

1. Je vais skier, s'il neige.
2. Je vais skier, seulement s'il neige.
3. Je vais skier, si et seulement s'il neige.

Solution

Si on traduit les propositions en logique, on obtient :

1. je vais skier ← il neige
2. je vais skier → il neige
3. je vais skier ↔ il neige

Autrement dit :

1. A chaque fois qu'il neige, je vais skier. Donc s'il neige, je vais skier, mais je peux aussi aller skier sans qu'il neige.
2. A chaque fois que je vais skier, il neige. Il peut neiger sans que j'aille skier.
3. A chaque fois qu'il neige, je vais skier, et à chaque fois que je vais skier, il neige. Je ne rate jamais une occasion d'aller skier s'il neige, et je ne vais jamais skier s'il ne neige pas.

Arbres de déduction

Construire l'arbre de déduction pour les propositions suivantes :

• Si je vais à la montagne, alors je vais faire de la randonnée.
• Je ne vais pas faire de la randonnée.

Peut-on déduire si je vais à la montagne ou pas ?

Solution

En appliquant le modus tollens, on peut en déduire que je ne vais pas à la montagne :

$$\frac{\text{"aller à la montagne"}\to \text{"faire de la randonnée"}\text{non "faire de la randonnée"}}{\text{non "aller à la montagne"}}$$

• Soit je vais skier, soit je vais faire de la raquette.
• Je ne vais pas skier.
• Je vais à la montagne si je fais de la raquette.
• Je vais skier si je vais à la montagne.

Peut-on déduire si je vais à la montagne ou pas ?

Solution

En appliquant le syllogisme disjonctif puis le modus ponens, on peut en déduire que je vais à la montagne :

$$\frac{\frac{\text{"skier" ou "raquette"}\text{non "skier"}}{\text{"raquette"}}\text{"raquette"}\to \text{"montagne"}}{\text{"montagne"}}$$

• Je mets un pull seulement si j'ai froid.
• Je sui enrhumé·e si je suis à la montagne.
• Si je ne mets pas de pull, alors je ne suis pas à la montagne.
• Je vais à la montagne.

Peut-on déduire si j'ai froid ou pas ?

Solution

En appliquant le syllogisme hypothétique puis le modus ponens, on peut en déduire que j'ai froid :

"Si je ne mets pas de pull, alors je ne suis pas à la montagne." est équivalent à "Si je suis à la montagne, alors je mets un pull."

$$\frac{\text{"montagne"}\frac{\text{"montagne"}\to \text{"pull"}\text{"pull"}\to \text{"froid"}}{\text{"montagne"}\to \text{"froid"}}}{\text{"froid"}}$$

Raisonnement déductif

Modéliser le raisonnements suivants à l'aide des règles d'inférence. Est-ce que la conclusion est-elle valide ? Qu'est-ce qu'il faudrait changer pour que la conclusion soit valide ?

Prémisses :

• Les chats sont mortels.
• Socrate est mortel.

Conclusion :

• Donc Socrate est un chat.

Solution

Prémisses :

• chat → mortel
• Socrate → mortel

Conclusion :

• Socrate → chat ?

Pour que la conclusion soit valide, il faudrait avoir la prémisse chat ← mortel

Sources

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_propositionnelle#Connecteurs_de_rhétorique,_de_philosophie_et_de_mathématiques
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Déduction_naturelle
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_déductif